Funktionswert-Rechner
Berechnet den Wert für eine gegebene Funktion und einen Winkel in verschiedenen Einheiten.
📚 So benutzt du den Rechner (Schritt-für-Schritt)
Schritt 1: Wähle deine Funktion
Im ersten Dropdown-Menü kannst du zwischen 6 verschiedenen trigonometrischen Funktionen wählen:
- sin (Sinus) - Die "Höhen-Funktion"
- cos (Cosinus) - Die "Breiten-Funktion"
- tan (Tangens) - Das Verhältnis sin/cos
- cot (Kotangens) - Der Kehrwert des Tangens
- sec (Sekans) - Der Kehrwert des Cosinus
- csc (Kosekans) - Der Kehrwert des Sinus
Schritt 2: Wähle deine Einheit
Du kannst zwischen 4 verschiedenen Winkeleinheiten wählen:
- Grad (°) - Die bekannteste Einheit. Ein voller Kreis = 360°
- Radiant (rad) - Die mathematische Einheit. Ein voller Kreis = 2π rad
- Gon (gon) - Wird in der Vermessung verwendet. Ein voller Kreis = 400 gon
- Vielfache von π - Für Eingaben wie π/4, π/2, 3π/2 etc.
Schritt 3: Gib deinen Winkel ein
Hier kannst du verschiedene Eingaben machen:
- Ganze Zahlen:
30,45,90 - Dezimalzahlen:
30.5,45.75 - Brüche:
1/2,3/4 - Pi-Ausdrücke (bei π-Einheit):
1/4(für π/4),1/2(für π/2)
💡 Beispiele zum Ausprobieren
- sin(30°) = 0.5 (genau die Hälfte!)
- cos(0°) = 1 (ganz rechts im Kreis)
- tan(45°) = 1 (gleiche Höhe und Breite)
- sin(π/2 rad) = 1 (ganz oben im Kreis)
🎈 Was sind Sinus & Co.? (Für Kinder erklärt)
Die Geschichte vom Kreislauf-Spaziergang
Stell dir vor, du gehst auf einem großen runden Spielplatz spazieren. Du startest ganz rechts (wie bei 3 Uhr auf einer Uhr) und gehst gegen den Uhrzeigersinn im Kreis.
Der Sinus sagt dir, wie hoch du gerade bist. Wenn du ganz oben bist (12 Uhr), ist der Sinus = 1. Wenn du ganz unten bist (6 Uhr), ist er = -1.
Der Cosinus sagt dir, wie weit rechts oder links du bist. Ganz rechts (3 Uhr) = 1, ganz links (9 Uhr) = -1.
🎯 Merkregeln für Kinder
- Sinus = Sonnenstand: Wie hoch steht die Sonne? (oben/unten)
- Cosinus = Kompass: In welche Richtung zeigt der Kompass? (rechts/links)
- Tangens = Turm: Wie steil ist der Turm? (Höhe durch Breite)
🔬 Die Mathematik dahinter
Woher kommen die Formeln?
Am rechtwinkligen Dreieck
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = b/c
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse = a/c
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = b/a
tan(α) = sin(α) / cos(α)
Am Einheitskreis (Radius = 1)
Der Einheitskreis macht alles einfacher, weil die Hypotenuse immer 1 ist:
sin(α) = y-Koordinate des Punktes
cos(α) = x-Koordinate des Punktes
Punkt auf dem Kreis: P(cos(α), sin(α))
Umrechnung zwischen Einheiten
📐 Vollkreis-Vergleich:
- 360° = 2π rad = 400 gon
- 180° = π rad = 200 gon
- 90° = π/2 rad = 100 gon
- 1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad
- 1 rad = 180/π° ≈ 57.2958°
⚠️ Häufige Fehler und wie du sie vermeidest
Fehler 1: Falsche Einheit eingestellt
Problem: Du gibst 30 ein, meinst aber 30° und hast Radiant eingestellt.
Lösung: Prüfe immer die Einheit! 30 rad ≈ 1718° - ein riesiger Unterschied!
Fehler 2: Division durch Null
Problem: tan(90°) oder cot(0°) sind nicht definiert.
Lösung: Merke dir: tan ist bei 90°, 270°... nicht definiert, cot bei 0°, 180°...
Fehler 3: Verwechslung von sin und cos
Problem: sin(0°) = 0, aber viele denken es ist 1.
Lösung: Merksatz: "Sinus startet bei Null" (sin(0°) = 0, cos(0°) = 1)
Fehler 4: Falsche Dezimalstelle bei π
Problem: π ≈ 3.14, aber manche schreiben 3.41
Lösung: Nutze die π-Einheit für genaue Berechnungen!
🏗️ Wo braucht man das im echten Leben?
🏠 Architektur & Bauwesen
- Berechnung von Dachneigungen
- Treppen-Planung (Steigungswinkel)
- Statik von Brücken und Gebäuden
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🌊 Physik & Technik
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- Synthesizer-Programmierung
- Audio-Effekte
📊 Wichtige Werte zum Auswendiglernen
| Winkel | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ |
Tipp: √2/2 ≈ 0.707, √3/2 ≈ 0.866, √3/3 ≈ 0.577
✏️ Übungsaufgaben zum Selbsttest
Aufgabe 1: Einfache Werte
Berechne ohne Taschenrechner:
- sin(90°) = ?
- cos(180°) = ?
- tan(0°) = ?
Lösung anzeigen
sin(90°) = 1, cos(180°) = -1, tan(0°) = 0
Aufgabe 2: Umrechnung
Rechne um:
- 45° in Radiant
- π/3 rad in Grad
- 100 gon in Grad
Lösung anzeigen
45° = π/4 rad, π/3 rad = 60°, 100 gon = 90°
Aufgabe 3: Praktische Anwendung
Eine Leiter lehnt an einer Wand. Sie ist 5m lang und bildet mit dem Boden einen Winkel von 60°.
Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?
Lösung anzeigen
Höhe = 5m × sin(60°) = 5m × (√3/2) ≈ 4.33m
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum heißt es "Sinus"?
Das Wort kommt vom lateinischen "sinus" = "Bucht" oder "Bogen". Es beschreibt die wellenförmige Kurve der Sinus-Funktion.
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Radiant?
Grad ist die alltägliche Einheit (360° = Vollkreis). Radiant ist die mathematische Einheit, bei der der Winkel durch die Bogenlänge am Einheitskreis definiert wird (2π = Vollkreis).
Warum sind manche Werte undefiniert?
Bei Division durch Null entstehen undefinierte Werte. Z.B. tan(90°) = sin(90°)/cos(90°) = 1/0 = undefiniert.
Muss ich alle Formeln auswendig lernen?
Die Grundformeln (sin, cos, tan) solltest du kennen. Die anderen (cot, sec, csc) kannst du dir herleiten, da sie nur Kehrwerte sind.
Gibt es negative Werte?
Ja! Sin und cos können Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Im 3. und 4. Quadranten des Kreises werden sie negativ.
📝 Zusammenfassung
Das Wichtigste in Kürze:
- Trigonometrische Funktionen beschreiben Verhältnisse im Dreieck
- Sie sind periodisch und wiederholen sich
- Sin und cos haben Werte zwischen -1 und +1
- Tan kann alle Werte annehmen
- Verschiedene Einheiten: Grad, Radiant, Gon
Merkhilfen:
- SOHCAHTOA: Sin=Opp/Hyp, Cos=Adj/Hyp, Tan=Opp/Adj
- Einheitskreis: x = cos, y = sin
- Quadranten: All Students Take Calculus (Alle positiv, Sin, Tan, Cos)
- Spezialwerte: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° auswendig lernen