Skalarprodukt-Rechner

Skalarprodukt berechnen

Geben Sie die Koordinaten der beiden Vektoren ein. Der Rechner berechnet automatisch das Skalarprodukt mit detailliertem Lösungsweg.

Vektor 1 (v⃗)
·
Vektor 2 (w⃗)

Anleitung: So verwenden Sie den Skalarprodukt-Rechner

📋 Schritt-für-Schritt Anleitung

  1. Vektor 1 eingeben: Geben Sie die Koordinaten des ersten Vektors in die linken Eingabefelder ein (x₁, y₁, z₁)
  2. Vektor 2 eingeben: Geben Sie die Koordinaten des zweiten Vektors in die rechten Eingabefelder ein (x₂, y₂, z₂)
  3. 2D-Vektoren: Lassen Sie die z-Komponenten leer, wenn Sie nur mit 2D-Vektoren arbeiten
  4. Berechnen: Klicken Sie auf "Berechnen", um das Skalarprodukt zu ermitteln
  5. Lösungsweg: Der detaillierte Rechenweg wird automatisch angezeigt

💡 Beispiel

Gegeben: v⃗ = (3, 4, 2) und w⃗ = (1, 2, -1)

Eingabe: Vektor 1: x₁=3, y₁=4, z₁=2 | Vektor 2: x₂=1, y₂=2, z₂=-1

Ergebnis: v⃗ · w⃗ = 3×1 + 4×2 + 2×(-1) = 3 + 8 - 2 = 9

⚠️ Häufige Eingabefehler

  • Verwenden Sie Punkte (.) statt Kommas (,) für Dezimalzahlen
  • Negative Zahlen sind erlaubt - verwenden Sie das Minus-Zeichen (-)
  • Leere Felder werden automatisch als 0 behandelt
  • Beide Vektoren müssen die gleiche Dimension haben

Was ist das Skalarprodukt? (Einfach erklärt)

Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt oder inneres Produkt genannt) ist eine mathematische Operation zwischen zwei Vektoren, die eine einzelne Zahl (einen Skalar) als Ergebnis liefert. Es ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Vektorrechnung.

v⃗ w⃗ Projektion α

Geometrische Interpretation

Das Skalarprodukt misst, wie stark zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. Es entspricht dem Produkt aus:

  • Der Länge des ersten Vektors
  • Der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten
  • Oder: |v⃗| × |w⃗| × cos(α), wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist
Positive Werte

Winkel zwischen 0° und 90°. Die Vektoren zeigen in ähnliche Richtungen.

Null (0)

Winkel = 90°. Die Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander).

Negative Werte

Winkel zwischen 90° und 180°. Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Formeln und Berechnung

Grundformel (Komponentenweise Berechnung)

v⃗ · w⃗ = v₁ × w₁ + v₂ × w₂ + v₃ × w₃
Für 2D-Vektoren: v⃗ · w⃗ = v₁ × w₁ + v₂ × w₂

Diese Formel ist die praktischste für die Berechnung. Sie multipliziert die entsprechenden Komponenten der Vektoren und addiert die Ergebnisse.

Geometrische Formel

v⃗ · w⃗ = |v⃗| × |w⃗| × cos(α)
α = Winkel zwischen den Vektoren

Diese Formel zeigt die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts und wird oft verwendet, um Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.

Detailliertes Rechenbeispiel

Gegeben: v⃗ = (2, -1, 3) und w⃗ = (4, 2, -1)

Schritt 1: Komponenten identifizieren

v₁ = 2, v₂ = -1, v₃ = 3
w₁ = 4, w₂ = 2, w₃ = -1

Schritt 2: Komponenten multiplizieren

v₁ × w₁ = 2 × 4 = 8
v₂ × w₂ = (-1) × 2 = -2
v₃ × w₃ = 3 × (-1) = -3

Schritt 3: Ergebnisse addieren

v⃗ · w⃗ = 8 + (-2) + (-3) = 8 - 2 - 3 = 3

Interpretation: Da das Ergebnis positiv ist, zeigen die Vektoren in ähnliche Richtungen.

Praktische Anwendungen

🔄 Orthogonalität prüfen

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

v⃗ · w⃗ = 0 ⟺ v⃗ ⊥ w⃗

📐 Winkel berechnen

Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann mit dem Skalarprodukt bestimmt werden:

cos(α) = (v⃗ · w⃗) / (|v⃗| × |w⃗|)

📏 Projektion berechnen

Die Projektion eines Vektors auf einen anderen:

proj_w⃗(v⃗) = ((v⃗ · w⃗) / |w⃗|²) × w⃗

⚡ Arbeit in der Physik

Mechanische Arbeit als Skalarprodukt von Kraft und Weg:

W = F⃗ · s⃗

Beispiel: Winkel zwischen Vektoren

Gegeben: v⃗ = (1, 0) und w⃗ = (1, 1)

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen: v⃗ · w⃗ = 1×1 + 0×1 = 1

Schritt 2: Beträge berechnen: |v⃗| = 1, |w⃗| = √2

Schritt 3: Winkel: cos(α) = 1/(1×√2) = 1/√2 = √2/2

Ergebnis: α = 45°

Häufige Fehler und wie Sie sie vermeiden

❌ Typische Rechenfehler

Falsch:

v⃗ · w⃗ = (v₁ + w₁) × (v₂ + w₂) × (v₃ + w₃)

Richtig:

v⃗ · w⃗ = v₁×w₁ + v₂×w₂ + v₃×w₃

Verwechslung mit Kreuzprodukt:

Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, das Kreuzprodukt einen Vektor!

Vorzeichenfehler:

Achten Sie besonders auf negative Zahlen: (-2) × 3 = -6, nicht +6

✅ Kontrollmöglichkeiten

  • Plausibilitätsprüfung: Bei ähnlichen Richtungen sollte das Ergebnis positiv sein
  • Kommutativität nutzen: v⃗ · w⃗ = w⃗ · v⃗ (Reihenfolge egal)
  • Spezialfälle testen: Skalarprodukt mit sich selbst ergibt |v⃗|²
  • Geometrische Überprüfung: Bei senkrechten Vektoren muss 0 herauskommen

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?

Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl (Skalar) und misst die "Ähnlichkeit" der Richtungen. Das Kreuzprodukt ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen Vektoren steht und nur im 3D-Raum definiert ist.

Kann das Skalarprodukt negativ sein?

Ja! Ein negatives Skalarprodukt bedeutet, dass die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen (Winkel > 90°). Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.

Was bedeutet ein Skalarprodukt von 0?

Ein Skalarprodukt von 0 bedeutet, dass die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen. Dies ist ein wichtiger Spezialfall in der Mathematik und Physik.

Funktioniert der Rechner auch mit 2D-Vektoren?

Ja! Lassen Sie einfach die z-Komponenten leer oder geben Sie 0 ein. Der Rechner berechnet automatisch das korrekte 2D-Skalarprodukt.

Wie erkenne ich, ob zwei Vektoren parallel sind?

Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Das Skalarprodukt allein reicht nicht aus - Sie müssen die Komponenten vergleichen oder das Kreuzprodukt berechnen (sollte 0 sein).

Welche Einheiten hat das Skalarprodukt?

Die Einheit des Skalarprodukts ist das Produkt der Einheiten der beiden Vektoren. Zum Beispiel: Meter × Meter = Meter², oder Newton × Meter = Joule (Energie).