Trigonometrie-Rechner für rechtwinklige Dreiecke
Geben Sie zwei beliebige Werte ein - alle anderen werden automatisch berechnet
Trigonometrische Werte (automatisch berechnet):
🧮 Erweiterte Trigonometrische Funktionen
Berechne alle trigonometrischen Funktionen für beliebige Werte und Winkel
📊 Eingabe
Unterstützt: Brüche (1/2), Dezimalzahlen (0.5), π (pi), Grad (30°)
💡 Schnelle Beispiele:
📈 Ergebnisse
Geben Sie einen Wert ein und klicken Sie auf "Berechnen"
📚 Funktions-Referenz
| Funktion | Bedeutung | Wertebereich | Besondere Werte |
|---|---|---|---|
| sin(x) | Sinus | [-1, 1] | sin(30°) = 0.5 |
| cos(x) | Kosinus | [-1, 1] | cos(60°) = 0.5 |
| tan(x) | Tangens | (-∞, ∞) | tan(45°) = 1 |
| cot(x) | Kotangens | (-∞, ∞) | cot(45°) = 1 |
| sec(x) | Sekans | (-∞,-1] ∪ [1,∞) | sec(60°) = 2 |
| csc(x) | Kosekans | (-∞,-1] ∪ [1,∞) | csc(30°) = 2 |
📋 Schnelle Bedienungsanleitung
- Zwei Werte eingeben: Füllen Sie genau zwei der vier Felder aus (a, b, c, oder α)
- Berechnen klicken: Der Rechner ermittelt automatisch alle fehlenden Werte
- Ergebnis prüfen: Schauen Sie sich den detaillierten Lösungsweg an
- Werte interpretieren: Nutzen Sie die berechneten Sinus-, Kosinus- und Tangens-Werte für weitere Berechnungen
📚 Trigonometrie verstehen - Vollständiger Leitfaden
🔍 Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie ist der Bereich der Mathematik, der sich mit den Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken beschäftigt. Das Wort kommt aus dem Griechischen: "trigonon" (Dreieck) und "metron" (messen).
Bei rechtwinkligen Dreiecken können wir mit nur zwei bekannten Werten alle anderen Eigenschaften berechnen. Das macht Trigonometrie zu einem mächtigen Werkzeug in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen und vielen anderen Bereichen.
🔺 Die Teile eines rechtwinkligen Dreiecks
Die drei Seiten:
- Hypotenuse (c): Die längste Seite, die dem rechten Winkel (90°) gegenüberliegt. Sie ist wie die "Hauptstraße" des Dreiecks.
- Gegenkathete (a): Die Seite, die dem betrachteten Winkel α direkt gegenüberliegt. Sie "schaut" den Winkel an.
- Ankathete (b): Die Seite, die am betrachteten Winkel α anliegt. Sie "berührt" den Winkel.
Die Winkel:
- Rechter Winkel: Immer genau 90°, erkennbar am kleinen Quadrat in der Ecke
- Winkel α (Alpha): Ein spitzer Winkel (kleiner als 90°), den wir meist berechnen
- Winkel β (Beta): Der dritte Winkel, immer 90° - α (weil alle Winkel zusammen 180° ergeben)
🧠 Der ultimative Merkspruch: "GAGA HühnerHof AG"
Dieser Spruch hilft Dir, die drei wichtigsten Formeln nie wieder zu vergessen:
Lies es als zwei Brüche: GA/GA und Hühner-Hof/AG
Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = G / H
Cosinus: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse = A / H
Tangens: tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = G / A
📐 Formeln im Detail verstehen
🔵 Sinus (sin α)
Was bedeutet das? Der Sinus gibt das Verhältnis zwischen der Seite gegenüber dem Winkel und der längsten Seite an.
Praktische Bedeutung: Wenn Du die Höhe eines Turms berechnen willst und den Winkel sowie die Entfernung kennst, brauchst Du den Sinus.
Wertebereich: Immer zwischen 0 und 1 (bzw. 0% und 100%)
🔴 Kosinus (cos α)
Was bedeutet das? Der Kosinus zeigt das Verhältnis zwischen der am Winkel anliegenden Seite und der Hypotenuse.
Praktische Bedeutung: Wenn Du berechnen willst, wie weit Du horizontal gegangen bist, nachdem Du eine Rampe hinaufgegangen bist.
Besonderheit: cos(0°) = 1, cos(90°) = 0
🟢 Tangens (tan α)
Was bedeutet das? Der Tangens ist das Verhältnis der beiden Katheten zueinander.
Praktische Bedeutung: Perfekt für Steigungsberechnungen! Eine Steigung von 100% entspricht tan(45°) = 1.
Besonderheit: Kann Werte größer als 1 annehmen (bei Winkeln > 45°)
📝 Schritt-für-Schritt Anleitung zur Problemlösung
1️⃣ Problemanalyse
- Zeichne das Dreieck auf
- Markiere den rechten Winkel
- Identifiziere den gegebenen Winkel α
- Benenne alle Seiten korrekt
2️⃣ Gegeben & Gesucht
- Liste alle bekannten Werte auf
- Bestimme, was berechnet werden soll
- Prüfe: Sind mindestens 2 Werte gegeben?
3️⃣ Formel wählen
- Nutze "GAGA HühnerHof AG"
- Wähle die passende Formel
- Bei Bedarf: Umstellen der Formel
4️⃣ Berechnung & Kontrolle
- Setze die Werte ein
- Rechne sorgfältig
- Prüfe das Ergebnis auf Plausibilität
- Verwende den Rechner zur Kontrolle
⚠️ Häufige Fehler vermeiden
❌ Typische Fehlerquellen:
- • Verwechslung von Gegenkathete und Ankathete
- • Grad- statt Bogenmaß am Taschenrechner
- • Hypotenuse kleiner als eine Kathete angenommen
- • Winkel größer als 90° eingegeben
- • Vergessen, den Taschenrechner auf DEG zu stellen
✅ So vermeidest Du Fehler:
- • Immer eine Skizze anfertigen
- • Ergebnis auf Plausibilität prüfen
- • Bei Unsicherheit: Probe machen
- • Einheiten und Grad/Bogenmaß beachten
- • Diesen Online-Rechner zur Kontrolle nutzen
🏗️ Praktische Anwendungsbeispiele
🏠 Architektur
Dachneigung berechnen, Treppenstufen planen, Gebäudehöhen bestimmen
🌊 Navigation
Kursberechnungen in der Schifffahrt, GPS-Koordinaten, Entfernungsmessungen
🎯 Physik
Kraftzerlegung, Schwingungen, Wellenphysik, Optik
🎓 Profi-Tipps für Fortgeschrittene
Umkehrfunktionen nutzen: Mit arcsin, arccos und arctan kannst Du aus Seitenverhältnissen die Winkel berechnen.
Pythagoras als Kontrolle: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: a² + b² = c²
Winkelsumme prüfen: α + β + 90° = 180°, also ist β = 90° - α
Sonderfälle erkennen: Bei 30°, 45° und 60° gibt es besonders "schöne" Werte
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum brauche ich genau zwei Werte?
Ein Dreieck hat sechs Eigenschaften (3 Seiten, 3 Winkel). Da ein Winkel schon 90° ist und alle Winkel zusammen 180° ergeben, bleiben 4 unbekannte Werte. Mit 2 gegebenen Werten können alle anderen eindeutig berechnet werden.
Was passiert bei unmöglichen Eingaben?
Der Rechner erkennt unmögliche Kombinationen (z.B. Hypotenuse kleiner als eine Kathete) und zeigt eine entsprechende Fehlermeldung an.
Kann ich auch stumpfwinklige Dreiecke berechnen?
Nein, dieser Rechner ist speziell für rechtwinklige Dreiecke konzipiert. Für andere Dreiecke benötigen Sie den Sinussatz oder Kosinussatz.
Wie genau sind die Berechnungen?
Die Ergebnisse werden auf 4 Dezimalstellen gerundet angezeigt. Intern rechnet der Computer mit höchster Präzision.