Scheitelpunktform Rechner
Gib hier die quadratische Funktion in Normalform ein (z.B. 2*x^2 - 4*x + 5)
Vollständige Anleitung: Scheitelpunktform berechnen
Was ist die Scheitelpunktform?
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist eine besondere Darstellung, die den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel (den Scheitelpunkt) direkt ablesen lässt. Sie hat die Form:
f(x) = a(x - d)² + e
Dabei ist S(d|e) der Scheitelpunkt der Parabel, und a bestimmt die Öffnung und Streckung.
Schritt 1: Koeffizienten aus der Normalform ablesen
Eine quadratische Funktion in Normalform hat die Gestalt:
f(x) = ax² + bx + c
Beispiel:
Bei f(x) = 2x² - 8x + 6 ist:
- a = 2 (Koeffizient vor x²)
- b = -8 (Koeffizient vor x)
- c = 6 (konstanter Term)
Schritt 2: x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts (d) wird mit der Formel berechnet:
d = -b/(2a)
Warum funktioniert diese Formel?
Diese Formel stammt aus der Ableitung. Der Scheitelpunkt liegt dort, wo die Steigung der Parabel null ist:
f'(x) = 2ax + b = 0
→ x = -b/(2a)
Schritt 3: y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
Die y-Koordinate des Scheitelpunkts (e) erhält man durch Einsetzen von d in die ursprüngliche Funktion:
e = f(d) = a·d² + b·d + c
Schritt 4: Scheitelpunktform aufstellen
Mit den berechneten Werten d und e kann nun die Scheitelpunktform geschrieben werden:
f(x) = a(x - d)² + e
Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion findet man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel):
x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Die Diskriminante entscheidet:
- D = b² - 4ac > 0: Zwei verschiedene Nullstellen
- D = b² - 4ac = 0: Eine doppelte Nullstelle
- D = b² - 4ac < 0: Keine reellen Nullstellen
Praktische Tipps zur Verwendung
Eingabeformat:
- Verwende * für Multiplikation: 2*x^2
- Verwende ^ für Potenzen: x^2
- Beispiel: 3*x^2 - 4*x + 1
Häufige Fehler:
- Vergessene Vorzeichen beachten
- Koeffizienten korrekt ablesen
- Rechenreihenfolge einhalten
Vollständiges Beispiel
Gegeben: f(x) = 2x² - 8x + 6
Schritt 1: a = 2, b = -8, c = 6
Schritt 2: d = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2
Schritt 3: e = 2·2² + (-8)·2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
Schritt 4: f(x) = 2(x - 2)² - 2
Scheitelpunkt: S(2|-2)