Integralrechnung

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Integralrechnung

Gib hier das Integral ein, das du berechnen willst.

∫
dx

Lasse die Grenzen leer, um die Stammfunktion zu finden.

Beispiele:

Was ist ein Integral? (Einfach erklärt für Anfänger)

Stell dir vor, du willst wissen, wie viel Farbe du brauchst, um die Fläche unter einer geschwungenen Linie zu bemalen. Genau das macht ein Integral - es berechnet diese Fläche unter einer Kurve! Es ist wie ein magischer Flächenberechner für komplizierte Formen.

🎯 Alltagsbeispiel: Der Geschwindigkeitsmesser

Wenn du im Auto fährst und dein Tacho zeigt die Geschwindigkeit an (z.B. 50 km/h), dann gibt dir das Integral dieser Geschwindigkeit über die Zeit die zurückgelegte Strecke! Das ist Integration in Aktion.

Fläche = Integral a b

Unbestimmtes vs. Bestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral (Stammfunktion):

Das ist wie das "Rückgängigmachen" des Ableitens. Du suchst die ursprüngliche Funktion, bevor sie abgeleitet wurde. Das Ergebnis ist immer eine Formel mit "+ C".

∫ f(x) dx = F(x) + C

Bestimmtes Integral:

Hier berechnest du eine konkrete Zahl - die exakte Fläche zwischen zwei Punkten "a" und "b". Das Ergebnis ist immer eine Zahl, keine Formel.

∫[a bis b] f(x) dx = Zahl

📋 Detaillierte Anleitung: So benutzt du den Integralrechner

🔢 Schritt 1: Funktion eingeben

Gib deine mathematische Funktion in das große mittlere Eingabefeld ein. Verwende dabei diese Schreibweise:

  • x^2 für x²
  • 3*x^2 für 3x²
  • sin(x) für Sinus von x
  • exp(x) für e^x

📐 Schritt 2: Grenzen wählen

Für die Art des Integrals hast du zwei Möglichkeiten:

  • Stammfunktion: Lasse beide Grenzfelder (a und b) leer
  • Bestimmtes Integral: Gib untere Grenze "a" und obere Grenze "b" ein
Tipp: Für Anfänger empfiehlt sich, erst ohne Grenzen zu üben!

⚡ Schritt 3: Berechnung starten

Klicke auf den blauen "Berechnen"-Button. Der Rechner zeigt dir dann:

  1. Die Stammfunktion mit detaillierter Herleitung
  2. Das numerische Ergebnis (wenn Grenzen angegeben)
  3. Alle Zwischenschritte zum Nachvollziehen

📚 Mathematische Grundlagen: Integrationsregeln erklärt

1️⃣ Die Potenzregel (Wichtigste Regel!)

Diese Regel funktioniert für alle Potenzen von x (außer x^(-1)):

∫ x^n dx = (1/(n+1)) × x^(n+1) + C
Schritt-für-Schritt Anleitung:
  1. Schaue dir die Hochzahl (den Exponenten) an
  2. Addiere 1 zur Hochzahl
  3. Teile durch diese neue Hochzahl
  4. Schreibe "+ C" dahinter
Konkrete Beispiele:
∫ x² dx = (1/3)x³ + C
∫ x dx = (1/2)x² + C
∫ x⁴ dx = (1/5)x⁵ + C

Warum funktioniert das? Das Ableiten einer Potenz senkt die Hochzahl um 1 und multipliziert mit der ursprünglichen Hochzahl. Das Integrieren ist die Umkehrung davon!

2️⃣ Trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus haben besondere, einfache Stammfunktionen:

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Das Integral von Sinus ist minus Kosinus

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Das Integral von Kosinus ist Sinus

Merktrick: cos wird zu sin (positiv), sin wird zu -cos (mit Minus!)

3️⃣ Exponentialfunktionen

Die e-Funktion ist etwas ganz Besonderes in der Mathematik:

∫ e^x dx = e^x + C

Das Wunder der e-Funktion: Sie ist ihre eigene Ableitung UND ihre eigene Stammfunktion! Das macht sie in der Natur so häufig - sie beschreibt exponentielles Wachstum perfekt.

4️⃣ Konstanten integrieren

Konstanten (Zahlen ohne x) werden ganz einfach integriert:

∫ k dx = k × x + C
∫ 5 dx = 5x + C
∫ 3.14 dx = 3.14x + C
∫ 1 dx = x + C

⚙️ Was kann dieser Integralrechner?

✅ Unterstützte Funktionen

📈 Polynome:

x, x², x³, 2x³, 5x⁴, etc.

Alle Potenzen von x mit Koeffizienten

📊 Trigonometrische:

sin(x), cos(x)

Sinus und Kosinus Funktionen

⚡ Exponential:

exp(x), e^x

Die natürliche Exponentialfunktion

🔢 Konstanten:

5, 3.14, -2, etc.

Alle reellen Zahlen

⚠️ Aktuelle Einschränkungen

Nicht unterstützt:
  • • Logarithmusfunktionen (ln(x), log(x))
  • • Gebrochene Funktionen (1/x, x/(x+1))
  • • Komplexe trigonometrische Funktionen (tan(x), sec(x))
  • • Partielle Integration
  • • Substitutionsregeln
💡 Tipp: Für komplexere Integrationen verwende spezialisierte Software wie Wolfram Alpha oder mathematische Computerprogramme.