Größten gemeinsamen Teiler (ggT) berechnen
Berechne den ggT von zwei Zahlen mit detailliertem Lösungsweg
⚡ Schnellstart-Anleitung
Zahlen eingeben
Gib zwei positive ganze Zahlen in die Eingabefelder ein. Zum Beispiel: 48 und 18.
Berechnung starten
Klicke auf "ggT berechnen" und der Rechner zeigt dir sofort das Ergebnis mit vollständigem Lösungsweg.
Lösung verstehen
Folge dem Schritt-für-Schritt Lösungsweg, um zu verstehen, wie der ggT berechnet wurde.
📚 Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)?
Einfache Erklärung für Grundschüler
Stell dir vor, du hast zwei Schokoladentafeln mit unterschiedlich vielen Stücken:
- Eine Tafel hat 12 Stücke 🍫
- Die andere hat 18 Stücke 🍫
Du möchtest beide Tafeln gerecht an deine Freunde verteilen, sodass jeder gleich viele Stücke bekommt und nichts übrig bleibt.
🤔 Wie viele Freunde können das sein?
- ✅ 1 Freund: Bekommt alle 30 Stücke (12 + 18)
- ✅ 2 Freunde: Jeder bekommt 6 bzw. 9 Stücke
- ✅ 3 Freunde: Jeder bekommt 4 bzw. 6 Stücke
- ✅ 6 Freunde: Jeder bekommt genau 2 bzw. 3 Stücke
- ❌ 4 Freunde: Geht nicht auf! 18 ÷ 4 = 4 Rest 2
➡️ Die größte Anzahl Freunde ist 6. Das ist der ggT von 12 und 18!
Mathematische Definition
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b ohne Rest teilt.
Wichtige Eigenschaften des ggT
- Kommutativität: ggT(a,b) = ggT(b,a)
- Assoziativität: ggT(ggT(a,b),c) = ggT(a,ggT(b,c))
- Mit 0: ggT(a,0) = a für alle a ≠ 0
- Mit 1: ggT(a,1) = 1 für alle a
- Vielfache: ggT(k·a, k·b) = k·ggT(a,b) für k > 0
🔧 Der Euklidische Algorithmus - Schritt für Schritt
Woher kommt der Algorithmus?
Der Euklidische Algorithmus ist über 2300 Jahre alt! Er wurde vom griechischen Mathematiker Euklid um 300 v. Chr. in seinem berühmten Werk "Die Elemente" beschrieben. Es ist einer der ältesten Algorithmen, die heute noch verwendet werden!
Wie funktioniert der Algorithmus?
Der geniale Trick: Wir nutzen die Tatsache, dass der ggT zweier Zahlen auch der ggT der kleineren Zahl und des Rests der Division ist!
Die Formel dahinter:
wobei "a mod b" der Rest der Division a ÷ b ist
Konkretes Beispiel: ggT(48, 18)
Schritt 1: Teile 48 durch 18
48 ÷ 18 = 2 Rest 12
Das bedeutet: 48 = 2 × 18 + 12
→ Neues Zahlenpaar: (18, 12)
Schritt 2: Teile 18 durch 12
18 ÷ 12 = 1 Rest 6
Das bedeutet: 18 = 1 × 12 + 6
→ Neues Zahlenpaar: (12, 6)
Schritt 3: Teile 12 durch 6
12 ÷ 6 = 2 Rest 0
Das bedeutet: 12 = 2 × 6 + 0
→ Rest ist 0, fertig!
✅ Ergebnis: ggT(48, 18) = 6
Der letzte Divisor vor dem Rest 0 ist immer der ggT!
Warum funktioniert das?
Die Magie liegt in dieser Eigenschaft: Wenn eine Zahl d sowohl a als auch b teilt, dann teilt sie auch deren Differenz (a - b) und damit auch den Rest (a mod b).
Beweis-Idee: Wenn d|a und d|b, dann gibt es k,l mit a = k·d und b = l·d
Daraus folgt: a - q·b = k·d - q·l·d = d·(k - q·l)
Also teilt d auch den Rest r = a - q·b
⚠️ Häufige Fehler und wie du sie vermeidest
❌ Fehler 1: Negative Zahlen verwenden
Der ggT ist nur für positive natürliche Zahlen definiert.
✅ Lösung: Verwende immer positive Zahlen. Bei negativen Zahlen nimm den Betrag: ggT(-12, 18) = ggT(12, 18)
❌ Fehler 2: Division falsch ausführen
Beim Teilen mit Rest wird oft der Quotient mit dem Rest verwechselt.
Falsch: 17 ÷ 5 = 3,4 → Rest 4 ❌
Richtig: 17 ÷ 5 = 3 Rest 2 ✅ (weil 17 = 3 × 5 + 2)
❌ Fehler 3: Zu früh aufhören
Manche hören auf, wenn sie eine "schöne" Zahl sehen, statt bis Rest 0 zu rechnen.
✅ Lösung: Immer weitermachen bis der Rest 0 ist!
❌ Fehler 4: Mit Dezimalzahlen rechnen
Der ggT ist nur für ganze Zahlen definiert.
✅ Lösung: Runde Dezimalzahlen oder multipliziere sie, um ganze Zahlen zu erhalten.
🌟 Wozu braucht man den ggT im echten Leben?
🎵 Musik und Rhythmus
Musiker nutzen den ggT, um herauszufinden, wann sich verschiedene Rhythmen wieder treffen. Wenn ein Schlagzeug alle 4 Takte und eine Gitarre alle 6 Takte einen Akzent setzt, treffen sie sich alle 12 Takte (kgV von 4 und 6).
🏗️ Bauwesen und Handwerk
Beim Fliesenlegen: Wenn ein Raum 240 cm × 180 cm groß ist, ist die größte quadratische Fliese, die ohne Verschnitt passt, 60 cm × 60 cm (ggT von 240 und 180).
🔢 Bruchrechnung
Um Brüche zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch ihren ggT. Beispiel: 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4
🔐 Kryptographie
Der ggT ist fundamental für moderne Verschlüsselung (RSA-Algorithmus). Er wird verwendet, um zu prüfen, ob zwei große Zahlen teilerfremd sind.
🎮 Computerspiele
Bei der Kollisionserkennung und Pfadfindung werden ggT-Berechnungen verwendet, um optimale Gittergrößen zu bestimmen.
📝 Übungsaufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: ggT(24, 36)
Lösung anzeigen
36 ÷ 24 = 1 Rest 12
24 ÷ 12 = 2 Rest 0
ggT(24, 36) = 12
Aufgabe 2: ggT(100, 35)
Lösung anzeigen
100 ÷ 35 = 2 Rest 30
35 ÷ 30 = 1 Rest 5
30 ÷ 5 = 6 Rest 0
ggT(100, 35) = 5
Aufgabe 3: ggT(144, 60)
Lösung anzeigen
144 ÷ 60 = 2 Rest 24
60 ÷ 24 = 2 Rest 12
24 ÷ 12 = 2 Rest 0
ggT(144, 60) = 12
🔄 Alternative Methoden zur ggT-Berechnung
1. Primfaktorzerlegung
Zerlege beide Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere die gemeinsamen Faktoren.
Beispiel: ggT(48, 18)
48 = 2⁴ × 3¹
18 = 2¹ × 3²
Gemeinsame Faktoren: 2¹ × 3¹ = 6
ggT(48, 18) = 6
2. Teilerlisten-Methode
Liste alle Teiler beider Zahlen auf und finde den größten gemeinsamen.
Beispiel: ggT(12, 18)
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 6
ggT(12, 18) = 6
3. Binärer ggT-Algorithmus (Stein-Algorithmus)
Besonders effizient für Computer, da nur Bitverschiebungen und Subtraktionen verwendet werden.
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler, während das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) die kleinste Zahl ist, die durch beide Zahlen teilbar ist. Es gilt: ggT(a,b) × kgV(a,b) = a × b
Kann der ggT größer als die kleinere Zahl sein?
Nein, der ggT kann niemals größer als die kleinere der beiden Zahlen sein. Im besten Fall ist er gleich der kleineren Zahl (wenn die kleinere Zahl die größere teilt).
Was ist der ggT von einer Zahl und 0?
Per Definition ist ggT(a, 0) = a für jede Zahl a ≠ 0. Das macht mathematisch Sinn, da jede Zahl die 0 teilt.
Funktioniert der Rechner auch mit sehr großen Zahlen?
Ja, der Rechner kann auch mit sehr großen Zahlen umgehen. Der Euklidische Algorithmus ist sehr effizient und benötigt nur wenige Schritte.