Brüche erweitern, kürzen & vereinfachen
Professioneller Online-Rechner mit visueller Darstellung und Schritt-für-Schritt Erklärung
Bitte oben den Zähler und unten den Nenner eintragen.
Was soll mit dem Bruch gemacht werden?
🚀 Schnellstart-Anleitung
1. Eingabe
Geben Sie Zähler und Nenner Ihres Bruchs ein. Beispiel: Für ¾ geben Sie 3 und 4 ein.
2. Operation wählen
Wählen Sie, ob Sie erweitern, mit einem Faktor kürzen oder vollständig kürzen möchten.
3. Ergebnis
Erhalten Sie das Ergebnis mit visueller Pizza-Darstellung und Schritt-für-Schritt Erklärung.
📚 Brüche verstehen: Einfach erklärt für Erstklässler
🍕 Was ist ein Bruch?
Stell dir eine Pizza vor! Ein Bruch zeigt uns, wie viele Stücke wir haben. 1/2 bedeutet: Du hast 1 Stück von 2 möglichen Stücken - also eine halbe Pizza!
Der Zähler (oben) sagt uns: "So viele Stücke habe ich"
Der Nenner (unten) sagt uns: "In so viele Stücke ist die ganze Pizza geteilt"
🔍 Was ist Erweitern?
Erweitern ist wie das Schneiden der Pizza in kleinere Stücke. Die Menge bleibt gleich, aber wir haben mehr, kleinere Teile!
Die Erweiterungs-Regel:
Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert.
⚠️ Wichtig: Beim Erweitern muss der Faktor größer als 1 sein und sowohl auf Zähler als auch Nenner angewendet werden!
Beispiel Schritt-für-Schritt:
Wir erweitern ½ mit 3:
- Ursprungsbruch: ½
- Zähler: 1 × 3 = 3
- Nenner: 2 × 3 = 6
- Ergebnis: ⁶⁄₃ (immer noch eine halbe Pizza!)
✂️ Was ist Kürzen?
Kürzen ist das Gegenteil: Wir "kleben" kleine Stücke zu größeren zusammen. Die Menge bleibt gleich, aber wir haben weniger, größere Teile.
Die Kürzungs-Regel:
Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl geteilt.
⚠️ Wichtig: Kürzen funktioniert nur, wenn sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleiche Zahl ohne Rest teilbar sind!
Beispiel Schritt-für-Schritt:
Wir kürzen ⁸⁄₄ durch 4:
- Ursprungsbruch: ⁸⁄₄
- Zähler: 8 ÷ 4 = 2
- Nenner: 4 ÷ 4 = 1
- Ergebnis: ²⁄₁ = 2 (zwei ganze Pizzen!)
🎯 Vollständiges Kürzen
Beim vollständigen Kürzen suchen wir die größte Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner teilbar sind. Das nennt man den größten gemeinsamen Teiler (ggT).
So finden wir den ggT:
- Alle Teiler des Zählers finden
- Alle Teiler des Nenners finden
- Den größten gemeinsamen Teiler auswählen
- Beide Zahlen durch diesen Teiler dividieren
Beispiel: ¹²⁄₁₈ vollständig kürzen
- Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 6
- Größter gemeinsamer Teiler: 6
- 12 ÷ 6 = 2, 18 ÷ 6 = 3
- Ergebnis: ²⁄₃
🎓 Detaillierte Bedienungsanleitung
Eingabe der Brüche
- Geben Sie nur ganze Zahlen ein
- Der Nenner darf niemals 0 sein
- Negative Zahlen sind erlaubt
- Beispiele: 3/4, -2/5, 7/3
Erweitern
- Wählen Sie einen positiven Faktor > 1
- Der Rechner multipliziert automatisch Zähler und Nenner
- Ergebnis: Ein äquivalenter Bruch mit größeren Zahlen
- Anwendung: Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen
Kürzen mit Faktor
- Der Faktor muss sowohl Zähler als auch Nenner ohne Rest teilen
- Bei ungültigen Faktoren erscheint eine Fehlermeldung
- Ergebnis: Ein äquivalenter Bruch mit kleineren Zahlen
- Tipp: Probieren Sie kleine Zahlen wie 2, 3, 5 zuerst
Vollständiges Kürzen
- Automatische Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
- Ergebnis: Der vollständig gekürzte Bruch
- Falls nicht kürzbar: Entsprechende Meldung
- Ideal für: Endergebnisse von Bruchrechnungen
❌ Häufige Fehler und wie man sie vermeidet
Fehler 1: Nur Zähler oder nur Nenner verändern
Falsch: ²⁄₃ erweitern → ⁴⁄₃ (nur Zähler verdoppelt)
Richtig: ²⁄₃ erweitern mit 2 → ⁴⁄₆ (beide verdoppelt)
Fehler 2: Durch nicht-teilbare Zahlen kürzen
Falsch: ⁵⁄₇ durch 2 kürzen (Rest bei Division!)
Richtig: Vorher prüfen: 5 ÷ 2 = 2,5 → nicht möglich
Fehler 3: Nenner = 0 setzen
Problem: Division durch Null ist mathematisch undefiniert
Lösung: Nenner muss immer ≠ 0 sein
💡 Profi-Tipp: Werte kontrollieren
Nutzen Sie die visuelle Pizza-Darstellung zur Kontrolle. Wenn die "Pizza-Menge" vor und nach der Operation unterschiedlich aussieht, ist ein Fehler passiert!
🔬 Mathematischer Hintergrund
Äquivalenz von Brüchen
Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie den gleichen Wert repräsentieren:
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Algorithmus:
ggT(a, b):
while b ≠ 0:
temp = b
b = a mod b
a = temp
return a
Warum funktioniert Erweitern und Kürzen?
Das Grundprinzip basiert auf der Eigenschaft der Multiplikation mit 1:
Da k/k = 1, ändert sich der Wert des Bruchs nicht!
🌟 Praktische Anwendungen
🍰 Rezepte umrechnen
Rezept für 4 Personen → 6 Personen
Alle Zutaten mit 6/4 = 3/2 erweitern
Beispiel: 2/3 Tasse Mehl wird zu 1 Tasse
📏 Maße und Verhältnisse
Bauplan im Maßstab 1:50 → 1:100
Alle Maße durch 2 kürzen
Beispiel: 3/2 cm wird zu 3/4 cm
💰 Gewinnverteilung
3 Partner mit Anteilen 2/6, 3/6, 1/6
Kürzen auf 1/3, 1/2, 1/6
Übersichtlichere Darstellung
🎵 Musiktheorie
Taktverhältnisse vereinfachen
4/8 Takt = 1/2 Takt
Notation wird einfacher lesbar
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wann sollte ich einen Bruch erweitern?
Erweitern Sie Brüche, wenn Sie sie addieren/subtrahieren möchten und einen gemeinsamen Nenner benötigen, oder wenn eine spezifische Darstellung gefordert ist.
Wie erkenne ich, ob ein Bruch kürzbar ist?
Ein Bruch ist kürzbar, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler > 1 haben. Suchen Sie nach gemeinsamen Faktoren wie 2, 3, 5, etc.
Was passiert, wenn ich falsche Faktoren eingebe?
Der Rechner zeigt eine Fehlermeldung. Beim Kürzen müssen sowohl Zähler als auch Nenner ohne Rest durch den Faktor teilbar sein.
Warum ist die Pizza-Darstellung hilfreich?
Die visuelle Darstellung hilft beim Verstehen, dass äquivalente Brüche die gleiche Menge repräsentieren, auch wenn die Zahlen unterschiedlich sind.
Kann ich negative Brüche verwenden?
Ja, der Rechner funktioniert auch mit negativen Zahlen. Die mathematischen Regeln bleiben dieselben.
Was bedeutet "vollständig gekürzt"?
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner 1 ist - er kann nicht weiter vereinfacht werden.
💡 Tipps und Tricks für Profis
🚀 Schnell-Check für Teilbarkeit
- Durch 2: Endziffer gerade (0,2,4,6,8)
- Durch 3: Quersumme durch 3 teilbar
- Durch 5: Endziffer 0 oder 5
- Durch 9: Quersumme durch 9 teilbar
- Durch 10: Endziffer 0
🎯 Strategien zum Kürzen
- Beginnen Sie mit kleinen Primzahlen (2, 3, 5)
- Nutzen Sie die Primfaktorzerlegung
- Bei großen Zahlen: Euklidischer Algorithmus
- Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Erweitern
📊 Erweitern für Vergleiche
Um Brüche zu vergleichen, erweitern Sie auf gemeinsamen Nenner:
2/3 vs 3/4 → 8/12 vs 9/12
Jetzt sichtbar: 3/4 > 2/3
🔄 Umgang mit unechten Brüchen
Bei Brüchen > 1 (Zähler > Nenner):
7/3 = 2⅓ (2 ganze + 1/3)
Kürzen und erweitern funktioniert genauso!
ℹ️ Über diesen Rechner
Dieser Online-Bruchrechner wurde entwickelt, um Schülern, Studenten und allen Interessierten das Verstehen und Arbeiten mit Brüchen zu erleichtern. Basierend auf bewährten mathematischen Prinzipien bietet er:
Präzision
Mathematisch korrekte Berechnungen basierend auf dem Euklidischen Algorithmus
Pädagogik
Schritt-für-Schritt Erklärungen für optimales Lernerlebnis
Transparenz
Vollständige Nachvollziehbarkeit aller Rechenschritte
Für wen ist dieser Rechner geeignet?
- Grundschüler: Erste Schritte mit Brüchen
- Gymnasiasten: Vorbereitung auf komplexere Bruchrechnungen
- Studenten: Auffrischung mathematischer Grundlagen
- Lehrer: Unterrichtsmaterial mit visuellen Elementen
- Eltern: Hausaufgabenhilfe mit verständlichen Erklärungen
Entwickelt mit modernen Web-Technologien • Kostenfrei nutzbar • Keine Registration erforderlich