Online Rechner
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b²
Vollständige Anleitung zu Binomischen Formeln
🚀 Schnellstart-Anleitung
So benutzt du den Rechner:
- Formel wählen: Entscheide, welche der drei binomischen Formeln du brauchst
- Werte eingeben: Trage deine Zahlen oder Variablen in die Felder ein
- Berechnen: Klicke auf "Berechnen" für den Lösungsweg
- Verstehen: Folge den Schritt-für-Schritt Erklärungen
Was sind Binomische Formeln?
Binomische Formeln sind mathematische Abkürzungen, die dir helfen, Terme mit Klammern schnell und sicher aufzulösen. Sie sind wie Zaubertricks für die Mathematik - einmal gelernt, sparst du dir viel Zeit und Rechenarbeit!
💡 Warum sind sie so nützlich?
Ohne binomische Formeln müsstest du jeden Term einzeln ausmultiplizieren. Mit den Formeln siehst du sofort das Ergebnis!
Beispiel: (x + 3)² ohne Formel: (x + 3) × (x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9
Mit Formel: Sofort erkennbar als x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9
Die drei binomischen Formeln im Detail
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Herleitung und Verständnis:
Diese Formel entsteht, wenn du (a + b) mit sich selbst multiplizierst:
= a × a + a × b + b × a + b × b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Geometrische Veranschaulichung:
Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge (a + b) vor:
Praxis-Beispiele:
- (x + 2)² = x² + 4x + 4
- (3 + y)² = 9 + 6y + y²
- (2a + 5)² = 4a² + 20a + 25
2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Diese Formel ist der ersten sehr ähnlich, nur mit einem Minus vor dem mittleren Term.
Herleitung:
= a × a - a × b - b × a + b × b
= a² - ab - ab + b²
= a² - 2ab + b²
⚠️ Häufiger Fehler:
Viele denken (a - b)² = a² - b², aber das ist falsch! Der mittlere Term -2ab darf nicht vergessen werden.
Richtig: (5 - 2)² = 25 - 20 + 4 = 9
Falsch: (5 - 2)² ≠ 25 - 4 = 21
Praxis-Beispiele:
- (x - 3)² = x² - 6x + 9
- (4 - y)² = 16 - 8y + y²
- (3a - 2)² = 9a² - 12a + 4
3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b²
Dies ist die eleganteste der drei Formeln - der mittlere Term verschwindet komplett!
Herleitung:
= a² - ab + ab - b²
= a² - b² (Die Mittelterme heben sich auf!)
💡 Anwendungstrick:
Diese Formel ist besonders nützlich zum Faktorisieren von Differenzen zweier Quadratzahlen.
Beispiel: x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)
Praxis-Beispiele:
- (x + 5)(x - 5) = x² - 25
- (3 + y)(3 - y) = 9 - y²
- (2a + 3b)(2a - 3b) = 4a² - 9b²
Schritt-für-Schritt Anleitung
Schritt 1: Richtige Formel identifizieren
- Quadrat einer Summe: (etwas + etwas)² → 1. Formel
- Quadrat einer Differenz: (etwas - etwas)² → 2. Formel
- Produkt von Summe und Differenz: (etwas + etwas)(etwas - etwas) → 3. Formel
Schritt 2: a und b bestimmen
Beispiel: (3x + 2)²
Hier ist a = 3x und b = 2
Wichtig: a und b können Zahlen, Variablen oder ganze Terme sein!
Schritt 3: Formel anwenden
Setze die identifizierten Werte in die entsprechende Formel ein:
Fortsetzung des Beispiels:
(3x + 2)² = (3x)² + 2×(3x)×2 + 2²
= 9x² + 12x + 4
Häufige Fehler und wie du sie vermeidest
❌ Fehler 1: Mittleren Term vergessen
Falsch: (a + b)² = a² + b²
Richtig: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Der Term 2ab ist essentiell und darf niemals weggelassen werden!
❌ Fehler 2: Vorzeichen verwechseln
Falsch: (a - b)² = a² + 2ab + b²
Richtig: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Bei der zweiten Formel ist der mittlere Term negativ!
❌ Fehler 3: Komplexe Terme nicht richtig quadrieren
Falsch: (2x)² = 2x²
Richtig: (2x)² = 4x²
Beim Quadrieren müssen sowohl Koeffizient als auch Variable quadriert werden!
Übungstipps für den Erfolg
🎯 Lernstrategie
- Beginne mit einfachen Zahlen (1, 2, 3)
- Arbeite dich zu Variablen vor (x, y)
- Übe dann mit komplexeren Termen (2x, 3y+1)
- Kontrolliere deine Ergebnisse durch Ausmultiplizieren
🔄 Selbstkontrolle
- Setze Zahlen für Variablen ein und rechne nach
- Nutze den Rechner zur Überprüfung
- Multipliziere das Ergebnis rückwärts aus
- Erkläre jemandem anderem dein Vorgehen
Funktionen des Rechners
Was kann der Rechner?
- ✅ Alle drei binomischen Formeln berechnen
- ✅ Zahlen und Variablen verarbeiten
- ✅ Komplexe Terme wie "2x" oder "3y+1" handhaben
- ✅ Schritt-für-Schritt Lösungsweg anzeigen
- ✅ Automatische Vereinfachung der Ergebnisse
- ✅ Sofortige Fehlerbehandlung bei ungültigen Eingaben
- ✅ Alle Eingabefelder mit einem Klick leeren
Eingabe-Beispiele:
Einfache Zahlen:
- a = 2, b = 3
- a = 5, b = 1
- a = 10, b = 7
Mit Variablen:
- a = x, b = 2
- a = 3y, b = 4
- a = 2x, b = 5y
Erweiterte Anwendungen
Faktorisierung mit binomischen Formeln
Die binomischen Formeln können auch rückwärts angewendet werden, um Terme zu faktorisieren:
Vollständige Quadrate erkennen:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² (weil 2×x×3 = 6x und 3² = 9)
Differenz von Quadraten:
x² - 25 = x² - 5² = (x + 5)(x - 5)
Praktische Anwendungen
Geometrie
Flächenberechnung bei zusammengesetzten Figuren, bei denen sich Seitenlängen aus Summen oder Differenzen ergeben.
Physik
Berechnung von Geschwindigkeiten, Energien und anderen physikalischen Größen, die quadratische Terme enthalten.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum funktioniert (a - b)² ≠ a² - b²?
Weil beim Ausmultiplizieren von (a - b)(a - b) vier Terme entstehen: a², -ab, -ab und b². Die beiden mittleren Terme ergeben zusammen -2ab, der nicht wegfällt.
Kann ich auch Brüche in den Rechner eingeben?
Ja! Verwende die Schreibweise "1/2" für ½ oder "3/4" für ¾. Der Rechner kann mit rationalen Zahlen umgehen.
Was passiert bei negativen Zahlen?
Negative Zahlen funktionieren einwandfrei. Achte darauf, dass (-3)² = 9 ist, aber -(3²) = -9. Setze negative Zahlen in Klammern!
Wie lerne ich die Formeln auswendig?
Eselsbrücken:
• "Plus wird zu Plus Plus" → (a+b)² = a² + 2ab + b²
• "Minus wird zu Minus Plus" → (a-b)² = a² - 2ab + b²
• "Plus-Minus wird zu Minus" → (a+b)(a-b) = a² - b²
Verwandte Themen
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Binomische Formeln sind essentiell für das Lösen quadratischer Gleichungen durch Faktorisierung.
Polynommultiplikation
Die Grundprinzipien der binomischen Formeln gelten auch für höhere Polynome.
Terme vereinfachen
Binomische Formeln helfen beim Vereinfachen komplexer algebraischer Ausdrücke.
🎓 Abschließende Lerntipps
Übung macht den Meister: Nutze den Rechner zunächst zum Verstehen, dann versuche die Aufgaben selbst zu lösen und kontrolliere mit dem Tool.
Visualisierung hilft: Zeichne dir die geometrischen Darstellungen auf, um die Formeln besser zu verstehen.
Fehler sind wertvoll: Analysiere deine Fehler - sie zeigen dir, wo du noch üben musst.
Anwendung finden: Suche nach Beispielen aus dem echten Leben, wo binomische Formeln angewendet werden können.