Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Geben Sie zwei beliebige Werte ein - der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks mit detailliertem Lösungsweg.
Weitere Eigenschaften (optional):
📋 Bedienungsanleitung - So funktioniert der Rechner
🎯 Schritt-für-Schritt Anleitung
- Wählen Sie GENAU ZWEI Werte: Geben Sie nur zwei bekannte Werte ein (z.B. Kathete a = 3 und Kathete b = 4)
- Lassen Sie alle anderen Felder leer: Der Rechner berechnet automatisch alle fehlenden Werte
- Klicken Sie auf "Berechnen": Sie erhalten sofort alle Ergebnisse mit detailliertem Lösungsweg
- Verstehen Sie die Lösung: Folgen Sie den Schritt-für-Schritt-Erklärungen um zu verstehen, wie die Berechnung funktioniert
💡 Praktische Tipps
- Beginnen Sie mit den Hauptseiten a, b, c - diese sind am einfachsten zu verstehen
- Verwenden Sie Dezimalzahlen für präzise Ergebnisse (z.B. 3.5 statt 3½)
- Die Hypotenuse c ist immer die längste Seite
- Winkel werden in Grad angegeben (nicht Radiant)
📝 Beispiel-Rechnung
Gegeben: a = 3, b = 4
Gesucht: c, α, β, h, p, q, A
Probieren Sie es aus: Geben Sie oben "3" bei Kathete a und "4" bei Kathete b ein, dann klicken Sie "Berechnen".
Sie werden sehen: c = 5, α ≈ 36.87°, β ≈ 53.13°, h = 2.4, A = 6
📚 Was ist ein rechtwinkliges Dreieck? - Einfach erklärt
🏠 Alltags-Beispiel: Das Dach-Problem
Stellen Sie sich vor, Sie stehen vor einer Hauswand (senkrecht nach oben) und schauen auf das Dach. Die Wand, der Boden und die schräge Dachlinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck:
- Die Wand = Kathete a (steht im rechten Winkel zum Boden)
- Der Boden = Kathete b (steht im rechten Winkel zur Wand)
- Die Dachlinie = Hypotenuse c (die schräge, längste Seite)
🔢 1. Der Satz des Pythagoras - Das Herzstück
Vor über 2500 Jahren entdeckte der griechische Mathematiker Pythagoras eine geniale Regel: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt immer derselbe Zusammenhang zwischen den Seitenlängen.
Kathete-Quadrat + Kathete-Quadrat = Hypotenuse-Quadrat
🤔 Warum funktioniert das?
Stellen Sie sich Quadrate vor, die auf jeder Seite des Dreiecks gebaut werden. Das Quadrat auf der Hypotenuse hat genau dieselbe Fläche wie die beiden Quadrate auf den Katheten zusammen! Das ist der geometrische Beweis.
📖 Rechenbeispiel Schritt für Schritt
Gegeben: a = 3, b = 4
Gesucht: c = ?
Formel: c² = a² + b²
Einsetzen: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Wurzel ziehen: c = √25 = 5
📐 2. Winkel berechnen - Trigonometrie einfach erklärt
Die beiden spitzen Winkel α (Alpha) und β (Beta) sind immer kleiner als 90° und ergeben zusammen genau 90°. Wir berechnen sie mit den Winkelfunktionen:
Sinus (sin)
sin(α) = a / c
Kosinus (cos)
cos(α) = b / c
Tangens (tan)
tan(α) = a / b
🧮 Winkel-Berechnung am Beispiel
Gegeben: a = 3, b = 4, c = 5
Winkel α: tan(α) = a/b = 3/4 = 0.75
Umkehrfunktion: α = arctan(0.75) ≈ 36.87°
Winkel β: β = 90° - α = 90° - 36.87° = 53.13°
📏 3. Höhe und Abschnitte - Die Sätze des Euklid
Wenn wir von der Ecke mit dem rechten Winkel eine senkrechte Linie zur Hypotenuse ziehen, entstehen interessante Zusammenhänge:
Höhensatz
Die Höhe im Quadrat = Produkt der Abschnitte
Kathetensätze
Kathete² = Hypotenuse × zugehöriger Abschnitt
📐 Praktische Berechnung
Höhe h: h = (a × b) / c = (3 × 4) / 5 = 2.4
Abschnitt p: p = a² / c = 3² / 5 = 1.8
Abschnitt q: q = b² / c = 4² / 5 = 3.2
Kontrolle: p + q = 1.8 + 3.2 = 5 = c ✓
📊 4. Flächenberechnung
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist besonders einfach zu berechnen:
Fläche = (Kathete × Kathete) / 2
🤓 Warum durch 2 teilen?
Ein rechtwinkliges Dreieck ist genau die Hälfte eines Rechtecks! Wenn Sie ein Rechteck mit den Seiten a und b diagonal durchschneiden, erhalten Sie zwei identische rechtwinklige Dreiecke.
⚠️ Häufige Fehler und wie Sie sie vermeiden
❌ Fehler 1: Hypotenuse kleiner als Kathete
Falsches Beispiel: a = 5, c = 3
Problem: Die Hypotenuse c muss IMMER die längste Seite sein. Physikalisch unmöglich!
❌ Fehler 2: Winkel größer als 90°
Falsches Beispiel: α = 95°
Problem: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel immer kleiner als 90°!
❌ Fehler 3: Zu viele oder zu wenige Eingaben
Richtig: Genau 2 Werte eingeben
Falsch: Alle Felder ausfüllen oder nur 1 Wert eingeben
✅ So machen Sie es richtig
- Prüfen Sie immer: c > a und c > b
- Winkel α und β müssen zwischen 0° und 90° liegen
- Die Summe α + β muss etwa 90° ergeben
- Alle Längen müssen positiv sein
🔧 Praktische Anwendungen des Pythagoras
🏗️ Bauwesen
- Dachneigung berechnen
- Treppen konstruieren
- Fundamente vermessen
- Rechte Winkel prüfen (3-4-5-Regel)
📐 Handwerk
- Möbel maßgenau bauen
- Schräge Schnitte berechnen
- Rohrleitungen verlegen
- Werkstücke vermessen
🌍 Navigation
- Entfernungen berechnen
- GPS-Koordinaten umrechnen
- Höhenunterschiede bestimmen
- Kompasskurse korrigieren
🎯 Sport & Freizeit
- Golfball-Flugbahnen
- Kletterwand-Neigungen
- Sprungschanzen konstruieren
- Zelte optimal aufbauen
🏠 Beispiel aus dem Alltag: Fernseher an der Wand
Sie wollen Ihren 55-Zoll-Fernseher an die Wand hängen und wissen:
- Wandhöhe bis zur gewünschten Position: 1,20 m
- Abstand von der Wand: 0,80 m
- Gesucht: Wie lang muss das Kabel sein?
Lösung: Geben Sie oben a = 1.2 und b = 0.8 ein. Ergebnis: c ≈ 1.44 m → Sie brauchen mindestens ein 1,5 m langes Kabel!
📋 Komplette Formelsammlung
Grundformeln
Winkelformeln
Höhe und Abschnitte
Fläche
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum kann ich nicht alle Felder gleichzeitig ausfüllen?
In einem rechtwinkligen Dreieck hängen alle Werte mathematisch zusammen. Wenn Sie zwei Werte kennen, sind alle anderen dadurch festgelegt. Mehr als zwei Eingaben würden zu Widersprüchen führen, es sei denn, alle Werte passen perfekt zusammen (was sehr selten der Fall ist).
Welche zwei Werte soll ich am besten eingeben?
Am einfachsten sind die drei Seiten a, b, c. Wenn Sie zwei davon kennen, ist die Berechnung sehr direkt. Winkel sind etwas komplizierter, aber der Rechner meistert auch das mühelos.
Was bedeuten die Abschnitte p und q?
Wenn Sie die Höhe h von der Ecke mit dem rechten Winkel senkrecht zur Hypotenuse c ziehen, wird die Hypotenuse in zwei Teile geteilt: p und q. Diese Abschnitte sind wichtig für erweiterte Berechnungen und haben schöne mathematische Eigenschaften (Sätze des Euklid).
Kann ich auch mit negativen Zahlen rechnen?
Nein, Längen und Winkel in der Geometrie sind immer positiv. Negative Eingaben werden vom Rechner abgelehnt, da sie mathematisch keinen Sinn ergeben.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Der Rechner verwendet moderne JavaScript-Mathematik und zeigt Ergebnisse auf 4 Dezimalstellen gerundet an. Für praktische Anwendungen ist das mehr als ausreichend genau.
Funktioniert das auch für andere Dreiecke?
Nein, dieser Rechner ist speziell für rechtwinklige Dreiecke (mit einem 90°-Winkel) entwickelt. Für allgemeine Dreiecke brauchen Sie andere Formeln wie den Kosinussatz oder Sinussatz.